Для того чтобы в отправленных оставались написанные сообщения, необходимо зайти в свой профиль и поставить галочку - "По умолчанию сохранять копию отправленных сообщений в моей папке отправленных сообщений".. Когда я это сделал, у меня стало все сохранятся.